1. விமானப் பயணம்
ஒரு விமானம் ஓரிடத்திலிருந்து மற்றொரு இடத்துக்கு 1 மணி 20 நிமிடங்களில் சென்று சேர்கிறது. ஆனால், அதே ஊரிலிருந்து திரும்பி வருவதற்கு 80 நிமிடங்களே ஆகிறதாம். இது எப்படி நடக்கும்?
2. அன்பளிப்பு
இரண்டு அப்பாக்கள் தங்களுடைய மகன்களுக்கு ரொக்கப் பரிசு கொடுத்தனர். ஒருவர் தன் மகனுக்கு 150 ரூபாயும், மற்றொருவர் 100 ரூபாயும் கொடுத்தார்கள். இரண்டு மகன்களும் சேர்ந்து தங்கள் கையிருப்பை எண்ணிப் பார்த்தபோது, மொத்தமாகவே 150 ரூபாயே இருந்தது. இது எப்படி சாத்தியம்?
3. இரண்டு இலக்கங்கள்
இரண்டு இலக்கங்களைக் கொண்டு எழுதக்கூடிய மிகச் சிறிய முழு எண் என்ன?
4. 0 முதல் 9 வரை பத்து பல வகை எண் முறை இலக்கங்களில் எல்லாவற்றையும் பயன்படுத்தி 1யை கொண்டு வர முடியுமா?
5. ஐந்து 9களைக் கொண்டு 10யை எழுத முடியுமா?
6. நான்கு வழிகள்
ஒரே மாதிரியான ஐந்து இலக்கங்களைக் கொண்டு 100யை கொண்டு வருவதற்கான நான்கு வெவ்வேறு வழிகளைக் காட்டுங்கள்.
7. நான்கு 1களைக் கொண்டு எழுதக்கூடிய மிகப் பெரிய எண் எது?
8. கடிகாரம்
வட்ட வடிவ கடிகாரத்தை பார்த்திருக்கிறீர்கள் தானே. அந்த கடிகாரத்தை மனதில் நினைத்துக் கொள்ளுங்கள். அதை 6 துண்டுகளாகப் பிரிக்க வேண்டும். ஆனால் ஒவ்வொரு துண்டிலும் கிடைக்கும் எண்ணிக்கையின் கூட்டுத்தொகை ஒரே மாதிரி வர வேண்டும். உங்களுடைய சாமர்த்தியத்தை சோதிப்பதற்கான பரீட்சை இது.
9. எண்களின் சக்கரம்
கீழ்க்கண்ட சக்கரத்தை கற்பனை செய்து கொள்ளுங்கள். இதில் ஒவ்வொரு காலியிடத்திலும் 1 முதல் 9 வரை எண்களை எழுத வேண்டும். ஆனால் எந்த விட்டத்தின் திசையில் உள்ள மூன்று எண்களைக் கூட்டினாலும் அதன் கூட்டுத் தொகை 15 வர வேண்டும். இதை செய்து காட்டுங்கள்.
10. முக்காலி
ஒரு முக்காலியின் மூன்று கால்கள் வெவ்வேறு நீளமுடையதாக இருந்தாலும்கூட, முக்காலி சாய்ந்துவிடாமல் உறுதியாக நிற்குமென்று சொல்கிறார்கள். இது சரிதானா?
(நீங்கள் முக்காலியை பார்த்திருக்கிறீர்களா? நான்கு கால்களைக் கொண்டது நாற்காலி. மூன்று கால்களைக் கொண்ட அதன் மாற்று வடிவம் முக்காலி)
பதில்கள்
1. எல்லாமே சரியாகத்தான் இருக்கிறது. இதில் குழப்பம் ஏதுமில்லை. ஏனென்றால், விமானம் போய்ச் சேர்வதற்கும், திரும்ப வருவதற்கும் ஒரே அளவு நேரம்தான் ஆகியிருக்கும். 80 நிமிடங்களும் 1 மணி 20 நிமிடங்களும் ஒன்றுதான். இரண்டுக்கும் வித்தியாசம் இருப்பதாகவும், 80 நிமிடங்கள் குறைவாக இருப்பது போலவும் தோன்றுவதற்குக் காரணம், அதை எழுதும் முறையில் இருக்கிறது. கவனக் குறைவால் தவறவிட்டுவிடக் கூடாது.
2. அப்பாக்களில் ஒருவர், மற்றொருவரின் மகன் என்பதுதான் இதில் உள்ள ரகசியம். இங்கே சொல்லப்பட்டிருப்பது தாத்தா, அப்பா, மகன் ஆகிய மூன்று பேரைப் பற்றி மட்டுமே. மொத்தம் நாலு பேர் கிடையாது. தாத்தா, தன் மகனுக்கு 150 ரூபாய் கொடுக்கிறார். அதிலிருந்து அப்பா (தாத்தாவின் மகன்), மகனுக்கு (தாத்தாவின் பேரனுக்கு) 100 ரூபாயைத் தருகிறார். எனவே, மொத்தமாக 150 ரூபாய்தான் இருக்கும்.
3. இரண்டு இலக்கங்களைக் கொண்டு எழுதக்கூடிய மிகச் சிறிய முழு எண் சிலர் நினைப்பது போல 10 அல்ல, 1. இதை பின்வரும் பல்வேறு வழிகளில் எழுதலாம்:
1/1, 2/2, 3/3, 4/4, ...9/9
4. 1யை இரு பின்னங்களின் கூட்டுத்தொகையாகக் காட்ட வேண்டும். அவ்வளவுதான்.
148/296 + 35/70 = 1
5. இரு வழிகள் பின்வருமாறு
9 + 99/99 = 10
99/9 - 9/9 = 10
6. ஒரே மாதிரியான ஐந்து இலக்கங்களைக் கொண்டு 100யை எழுதுவது சுலபம்தான். 1களையும், 3களையும் கொண்டு எழுதலாம். 5களைக் கொண்டு எழுதுவது மிகச் சுலபமான வழி. நான்கு வழிகள் வருமாறு:
101 - 1 = 100
33 x 3 + 3/3 = 100
5 x 5 x 5 + 5 x 5 = 100
(5 + 5+ 5+ 5) x 5 = 100
7. 1,111 என்றுதான் பலரும் பதில் சொல்வார்கள்.ஆனால் இதைக் காட்டிலும் மிகப் பல மடங்கு பெரிய எண்ணை எழுத முடியும். 1111. அதாவது 11இன் 11ஆம் அடுக்கு. இறுதி வரை பெருக்கிச் சென்று இதன் மதிப்பைக் கணக்கிட உங்களுக்குப் பொறுமை இருக்குமானால், அந்தப் பெருக்குத்தொகை 28,000,00,00,000க்கும் அதிகமாக இருப்பதை காணலாம்.1,111யைவிட இது 25 கோடி மடங்கு பெரிது.
8. கடிகாரத்தில் உள்ள எல்லா எண்களின் கூட்டுத்தொகை 78. ஆகவே, ஆறு துண்டுகளில் ஒவ்வொன்றிலும் எண்களின் கூட்டுத்தொகை 78 /6 = 13 என்று வர வேண்டும். இதன் அடிப்படையில் 12 + 1, 11+ 2, 10 + 3, 9 + 4, 8 + 5, 7 + 6 எனப் பிரிக்கலாம்.
9. 7
6 8
1 5 9
2 4
3
10. முக்காலி எப்படிச் சாய்ந்தாலும், அதன் மூன்றுபுள்ளிகளின் கீழே உள்ள புவியீர்ப்பு விசையும் ஒரே தளத்தில்தான் கீழே விழும். அதனால் முக்காலிகளின் மூன்று கால்களும் எப்போதும் தரை மீது படிந்தேஇருக்கும். முக்காலி சாய்ந்து கீழே விழாமல் இருப்பதற்கு இதுவே காரணம். வடிவகணிதத்தின் அடிப்படையில்அது வடிவமைக்கப்பட்டிருப்பதே காரணம். இதனால்தான் நில அளவைக் கருவிகளும், கேமரா ஸ்டாண்டுகளும் வசதியாக அமைவதற்கு மூன்று கால்கள் காரணமாக இருக்கின்றன. நான்காவது காலால் உறுதி அதிகமாவதில்லை. மாறாக, ஒன்று சாய்ந்தாலும் பிரச்சினைதான்
2. அன்பளிப்பு
இரண்டு அப்பாக்கள் தங்களுடைய மகன்களுக்கு ரொக்கப் பரிசு கொடுத்தனர். ஒருவர் தன் மகனுக்கு 150 ரூபாயும், மற்றொருவர் 100 ரூபாயும் கொடுத்தார்கள். இரண்டு மகன்களும் சேர்ந்து தங்கள் கையிருப்பை எண்ணிப் பார்த்தபோது, மொத்தமாகவே 150 ரூபாயே இருந்தது. இது எப்படி சாத்தியம்?
3. இரண்டு இலக்கங்கள்
இரண்டு இலக்கங்களைக் கொண்டு எழுதக்கூடிய மிகச் சிறிய முழு எண் என்ன?
4. 0 முதல் 9 வரை பத்து பல வகை எண் முறை இலக்கங்களில் எல்லாவற்றையும் பயன்படுத்தி 1யை கொண்டு வர முடியுமா?
5. ஐந்து 9களைக் கொண்டு 10யை எழுத முடியுமா?
6. நான்கு வழிகள்
ஒரே மாதிரியான ஐந்து இலக்கங்களைக் கொண்டு 100யை கொண்டு வருவதற்கான நான்கு வெவ்வேறு வழிகளைக் காட்டுங்கள்.
7. நான்கு 1களைக் கொண்டு எழுதக்கூடிய மிகப் பெரிய எண் எது?
8. கடிகாரம்
வட்ட வடிவ கடிகாரத்தை பார்த்திருக்கிறீர்கள் தானே. அந்த கடிகாரத்தை மனதில் நினைத்துக் கொள்ளுங்கள். அதை 6 துண்டுகளாகப் பிரிக்க வேண்டும். ஆனால் ஒவ்வொரு துண்டிலும் கிடைக்கும் எண்ணிக்கையின் கூட்டுத்தொகை ஒரே மாதிரி வர வேண்டும். உங்களுடைய சாமர்த்தியத்தை சோதிப்பதற்கான பரீட்சை இது.
9. எண்களின் சக்கரம்
கீழ்க்கண்ட சக்கரத்தை கற்பனை செய்து கொள்ளுங்கள். இதில் ஒவ்வொரு காலியிடத்திலும் 1 முதல் 9 வரை எண்களை எழுத வேண்டும். ஆனால் எந்த விட்டத்தின் திசையில் உள்ள மூன்று எண்களைக் கூட்டினாலும் அதன் கூட்டுத் தொகை 15 வர வேண்டும். இதை செய்து காட்டுங்கள்.
ஒரு முக்காலியின் மூன்று கால்கள் வெவ்வேறு நீளமுடையதாக இருந்தாலும்கூட, முக்காலி சாய்ந்துவிடாமல் உறுதியாக நிற்குமென்று சொல்கிறார்கள். இது சரிதானா?
(நீங்கள் முக்காலியை பார்த்திருக்கிறீர்களா? நான்கு கால்களைக் கொண்டது நாற்காலி. மூன்று கால்களைக் கொண்ட அதன் மாற்று வடிவம் முக்காலி)
பதில்கள்
1. எல்லாமே சரியாகத்தான் இருக்கிறது. இதில் குழப்பம் ஏதுமில்லை. ஏனென்றால், விமானம் போய்ச் சேர்வதற்கும், திரும்ப வருவதற்கும் ஒரே அளவு நேரம்தான் ஆகியிருக்கும். 80 நிமிடங்களும் 1 மணி 20 நிமிடங்களும் ஒன்றுதான். இரண்டுக்கும் வித்தியாசம் இருப்பதாகவும், 80 நிமிடங்கள் குறைவாக இருப்பது போலவும் தோன்றுவதற்குக் காரணம், அதை எழுதும் முறையில் இருக்கிறது. கவனக் குறைவால் தவறவிட்டுவிடக் கூடாது.
2. அப்பாக்களில் ஒருவர், மற்றொருவரின் மகன் என்பதுதான் இதில் உள்ள ரகசியம். இங்கே சொல்லப்பட்டிருப்பது தாத்தா, அப்பா, மகன் ஆகிய மூன்று பேரைப் பற்றி மட்டுமே. மொத்தம் நாலு பேர் கிடையாது. தாத்தா, தன் மகனுக்கு 150 ரூபாய் கொடுக்கிறார். அதிலிருந்து அப்பா (தாத்தாவின் மகன்), மகனுக்கு (தாத்தாவின் பேரனுக்கு) 100 ரூபாயைத் தருகிறார். எனவே, மொத்தமாக 150 ரூபாய்தான் இருக்கும்.
3. இரண்டு இலக்கங்களைக் கொண்டு எழுதக்கூடிய மிகச் சிறிய முழு எண் சிலர் நினைப்பது போல 10 அல்ல, 1. இதை பின்வரும் பல்வேறு வழிகளில் எழுதலாம்:
1/1, 2/2, 3/3, 4/4, ...9/9
4. 1யை இரு பின்னங்களின் கூட்டுத்தொகையாகக் காட்ட வேண்டும். அவ்வளவுதான்.
148/296 + 35/70 = 1
5. இரு வழிகள் பின்வருமாறு
9 + 99/99 = 10
99/9 - 9/9 = 10
6. ஒரே மாதிரியான ஐந்து இலக்கங்களைக் கொண்டு 100யை எழுதுவது சுலபம்தான். 1களையும், 3களையும் கொண்டு எழுதலாம். 5களைக் கொண்டு எழுதுவது மிகச் சுலபமான வழி. நான்கு வழிகள் வருமாறு:
101 - 1 = 100
33 x 3 + 3/3 = 100
5 x 5 x 5 + 5 x 5 = 100
(5 + 5+ 5+ 5) x 5 = 100
7. 1,111 என்றுதான் பலரும் பதில் சொல்வார்கள்.ஆனால் இதைக் காட்டிலும் மிகப் பல மடங்கு பெரிய எண்ணை எழுத முடியும். 1111. அதாவது 11இன் 11ஆம் அடுக்கு. இறுதி வரை பெருக்கிச் சென்று இதன் மதிப்பைக் கணக்கிட உங்களுக்குப் பொறுமை இருக்குமானால், அந்தப் பெருக்குத்தொகை 28,000,00,00,000க்கும் அதிகமாக இருப்பதை காணலாம்.1,111யைவிட இது 25 கோடி மடங்கு பெரிது.
8. கடிகாரத்தில் உள்ள எல்லா எண்களின் கூட்டுத்தொகை 78. ஆகவே, ஆறு துண்டுகளில் ஒவ்வொன்றிலும் எண்களின் கூட்டுத்தொகை 78 /6 = 13 என்று வர வேண்டும். இதன் அடிப்படையில் 12 + 1, 11+ 2, 10 + 3, 9 + 4, 8 + 5, 7 + 6 எனப் பிரிக்கலாம்.
9. 7
6 8
1 5 9
2 4
3
10. முக்காலி எப்படிச் சாய்ந்தாலும், அதன் மூன்றுபுள்ளிகளின் கீழே உள்ள புவியீர்ப்பு விசையும் ஒரே தளத்தில்தான் கீழே விழும். அதனால் முக்காலிகளின் மூன்று கால்களும் எப்போதும் தரை மீது படிந்தேஇருக்கும். முக்காலி சாய்ந்து கீழே விழாமல் இருப்பதற்கு இதுவே காரணம். வடிவகணிதத்தின் அடிப்படையில்அது வடிவமைக்கப்பட்டிருப்பதே காரணம். இதனால்தான் நில அளவைக் கருவிகளும், கேமரா ஸ்டாண்டுகளும் வசதியாக அமைவதற்கு மூன்று கால்கள் காரணமாக இருக்கின்றன. நான்காவது காலால் உறுதி அதிகமாவதில்லை. மாறாக, ஒன்று சாய்ந்தாலும் பிரச்சினைதான்
